Question

设Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*都有Sn+12an＝12（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log3a1

设Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*都有Sn+12an＝12（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3an，求数列{1bn}的前n项和．

Answer 1

（I）∵S_n+

1

2

an＝

1

2

，∴当n=1时，S1+

1

2

a1=

1

2

，∴a₁=

1

3

．
当n≥2时，Sn?1+

1

2

an?1＝

1

2

，∴a_n+

1

2

an-

1

2

an?1=0，∴an＝

1

3

an?1．
∴数列{a_n}是等比数列，∴a_n=(

1

3

)n．
（II）∵a_n=(

1

3

)n，∴log₃a_n=log3(

1

3

)n=-n．
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…+log₃a_n=-（1+2+…+n）=-

n(n+1)

2

．
∴

1

bn

=-2(

1

n

?

1

n+1

)．
∴数列{

1

bn

}的前n项和=-2[(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)]
=?2(1?

1

n+1

)
=

?2n

n+1

．