Question

高中数学题，用导数

函数f(x)=lnx-[a(x-1)]/x(x>0,a∈R)
(1)试求f(x)的单调区间
(2)当a>0,求证：函数f(x)的图像存在唯一零点的充要条件是a=1
(3)求证：不等式1/lnx-1/(x-1)<1/2对于x∈(1,2)恒成立

Answer 1

(1)f(x)=Inx-(a-a/x) f'(x)=(1/x)-(a/x^2)

f(x)递增就是f'(x)>0 -->(x-a)/(x^2)>0 -->x>a and x≠0

(2)a>0 函数f(x)的图像存在唯一零点

那么就是xInx=a(x-1)的图像仅有x=1这一个交点

那么若切线的话是Ina-a+1=0 g(a)=Ina-a+1(a>0) g'(a)=1/x-x 在(0,1]递增，在(1,+∞)递减

而最大值恰好是a=1时是0，所以Ina=a-1有唯一解a=1

若不是切线，如果0<a<1, 那么根据图象在0<x<1

刚开始由于斜率较小，趋近1的时候有a(x-1)>xInx

但当x-->0是，xInx-->0 a(x-1)-->-a ;a(x-1)<xInx形成穿越

必有两交点

如果a>1 那么(xInx)'=1+Inx a(x-1)'=a 刚开始a(x-1)增长较快，后来xInx增长较快，那么当趋近无穷大时必有xInx>a(x-1)

而开始在趋近1的时候却是a(x-1)>xInx

所以形成穿越还是有两交点，所以只有是切线即a=1时才只有一个交点

(3)1/lnx-1/(x-1)<1/2 即证(x-1)-Inx<(1/2)(Inx)(x-1) 那么就是证明a=1 

f(x)>-(1/2)(Inx)(x-1)在x∈(1,2)恒成立

由于左边最小值是x=1 f(x)=0 而右边恒小于0

所以左边大于右边 得证

应该是这样，做错了hi我一下