Question

如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1

如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD=∠EDO；（2）若PC=6，tan∠PDA= 3 4 ，求OE的长．

Answer 1

（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C， ∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO， ∴∠PAO=90°， ∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°， ∴∠APO=∠EDO， ∴∠EPD=∠EDO； （2）连接OC， ∴PA=PC=6， ∵tan∠PDA= 3 4 ， ∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10， ∴CD=4， ∵tan∠PDA= 3 4 ， ∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5， ∵∠EPD=∠ODE， ∴△OED ∽ △DEP， ∴ PD OD = DE OE = 10 5 = 2 1 ， 在Rt△OED中，OE 2 +DE 2 =5 2 ， ∴OE= 5 ．