Question

（2008?永州）如图，已知⊙O的直径AB=2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO

（2008?永州）如图，已知⊙O的直径AB=2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．（1）求证：△APC∽△COD；（2）设AP=x，OD=y，试用含x的代数式表示y；（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．

Answer 1

（1）证明：∵PC是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，
∴∠PAC=∠OCD=90°，
∵DA，DC是⊙O的切线，
∴∠ADO=∠CDO，AD=DC，
∴DO⊥AC，
∴PA∥OD，
∴∠P=∠DOC，
∴△APC∽△COD．

（2）解：由△APC∽△COD，得：

AP

PC

＝

OC

OD

∴

x

2

＝

1

y

，
∴y＝

2

x

．

（3）解：若△ACD是一个等边三角形，则∠ADC=60°，∠ODC=30°，
∵OD=2OC，
∴y=2，
∴x=1．
当x=1时，△ACD是一个等边三角形．