Question

如图，在平面直角坐标系中，已知三点A（0，a），B（b，0），C（b，c），其中a，b，c满足关系式|a-2|+（b-

如图，在平面直角坐标系中，已知三点A（0，a），B（b，0），C（b，c），其中a，b，c满足关系式|a-2|+（b-3） 2 =0，c=2b-a；（1）求a，b，c的值；（2）如果再第二象限内有一点P（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积，若四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，请求出点P的坐标；（3）若B，A两点分别在x轴，y轴的正半轴上运动，设∠BAO的邻补角的平分线和∠ABO的邻补角的平分线相交于第一象限内一点Q，那么，点A，B在运动的过程中，∠Q的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由．

Answer 1

（1）∵|a-2|+（b-3） 2 =0， ∴a-2=0，b-3=0， 即a=2，b=3， 又∵c=2b-a， ∴c=2×3-2=4； （2）由题意：S △ABC = 1 2 BC×b = 1 2 ×4×3 =6， S 四边形ABOP = 1 2 ×AO×|m|+ 1 2 ×AO×|c| = 1 2 ×2×|m|+ 1 2 ×2×3 =|m|+3， 由题意S 四边形ABOP =S △ABC ， ∴|m|+3=6， 即m=±3， ∵点P在第二象限， ∴点P（-3，1）； （3）∠AQB为定值． 证明：∵2∠BAQ=∠AOB+∠ABO，2∠ABQ=∠AOB+∠OAB， ∴2（∠BAQ+∠ABQ）=2∠AOB+∠ABO+∠OAB， ∠BAQ+∠ABQ=∠AOB+ 180°-∠AOB 2 =90°+ 1 2 ∠AOB ， ∵∠AOB大小为定值， ∴∠BAQ+∠ABQ的大小为定值， ∴∠AQB=180°-（∠BAQ+∠ABQ）， 故∠AQB为定值．