Question

如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-4，0），B（1，0），C（-2，6）. （1）求经过点A，B，C三点的

如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-4，0），B（1，0），C（-2，6）. （1）求经过点A，B，C三点的抛物线解析式．（2）设直线BC交y轴于点E，连结AE，求证：AE=CE；（3）设抛物线与y轴交于点D，连结AD交BC于点F，求证：以A，B，F为顶点的三角形与△ABC相似，并求： ．

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Answer 1

（1） ；（2）证明见试题解析；（3）证明见试题解析， ．

试题分析：（1）利用待定系数发求解即可得出抛物线的解析式； （2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论； （3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，由题意得∠ABF=∠CBA，然后判断出 是否等于 即可作出判断． 试题解析：（1）设函数解析式为： ，由函数经过点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）， 可得 ，解得： ，故经过A、B、C三点的抛物线解析式为： ； （2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，由题意得： ，解得： ，即直线BC的解析式为 ．故可得点E的坐标为（0，2），从而可得：AE= ，CE= ，故可得出AE=CE； （3）相似．理由如下：设直线AD的解析式为y=kx+b，则 ，解得： ，即直线AD的解析式为 ．联立直线AD与直线BC的函数解析式可得： ，解得： ，即点F的坐标为（ ， ），则BF= ，又∵AB=5，BC= ，∴ ， ，∴ ，又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA．故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似， = ．