Question

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；（2）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离．

Answer 1

（1）∵SA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴SA⊥BD、 ∵ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，∴BD⊥平面SAC、 ∵BD?平面EBD， ∴平面EBD⊥平面SAC、 （2）设AC∩BD=F，连SF，则SF⊥BD、 ∵AB=2．∴BD=2 2 ． ∵SF= S A 2 +A F 2 = 4 2 +( 2 ) 2 =3 2 ∴S △SBD = 1 2 BD?SF= 1 2 ?2 2 ?3 2 =6． 设点A到平面SBD的距离为h， ∵SA⊥平面ABCD， ∴ 1 3 ?S △SBD ?h= 1 3 ?S △ABD ?SA， ∴6?h= 1 2 ?2?2?4， ∴h= 4 3 ， ∴点A到平面SBD的距离为 4 3 ．