Question

如图，过椭圆x2a2+y2b2＝1 (a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，点A和点B分别为椭圆的右顶点和上

如图，过椭圆x2a2+y2b2＝1 (a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，点A和点B分别为椭圆的右顶点和上顶点，OP∥AB．（1）求椭圆的离心率e；（2）过右焦点F2作一条弦QR，使QR⊥AB．若△F1QR的面积为203，求椭圆的方程．

Answer 1

（1）∵F₁（-c，0），∴P(?c，

b2

a

)．
∵OP∥AB，∴k_OP=k_AB，∴

b2 a

c

＝

b

a

，
解得：b=c．∴a＝

2

c，故e＝

2

2

．
（2）由（1）知椭圆方程可化简为x²+2y²=2b²．
①易求直线QR的斜率为

2

，故可设直线QR的方程为：y＝

2

(x?b)．②
由①②消去y得：5x²-8bx+2b²=0．
∴x1+x2＝

8b

5

，x1x2＝

2b2

5

．
于是△F₁QR的面积S=c?|y1?y2|＝

2

c?|x1?x2|＝

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