（2014?西藏一模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的
（2014?西藏一模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且...
（2014?西藏一模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1（Ⅰ）求证：CD=C1D；（Ⅱ）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面B1DP的距离．
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解答：
解：（I）由题意作出如下图形并建立图示的空间直角坐标系：
以A1点为原点，A1B1，A1C1，A1A所在的直线分别为x，y，z轴，
建立图示的空间直角坐标系，则A1（0，0，0）B1（1，0，0）C1（0，1，0）B（1，0，1）
（I）设C1D=x，
∵AC∥PC1
∴
＝
＝
可设D（0，1，x），则P(0，1+
，0)，
∴
＝(1，0，1)
=（0，1，x），
＝(?1，1+
，0)
设平面BA1D的一个法向量为
=（a，b，c），
则
?
令a=1，则
=（1，x，-1）∵PB1∥平面BA1D
∴
＝1×(?1)+x?(1+
)+(?1)×0=0?x=
；
故CD=C1D．
（II）由（I）知，平面BA1D的一个法向量为
＝(1，
，?1)
又
=（1，0，0）为平面AA1D的一个法向量，∴cos＜
，
＞＝
解：（I）由题意作出如下图形并建立图示的空间直角坐标系：以A1点为原点，A1B1，A1C1，A1A所在的直线分别为x，y，z轴，
建立图示的空间直角坐标系，则A1（0，0，0）B1（1，0，0）C1（0，1，0）B（1，0，1）
（I）设C1D=x，
∵AC∥PC1
∴
| C1P |
| AC |
| C1D |
| CD |
| x |
| 1?x |
可设D（0，1，x），则P(0，1+
| x |
| 1?x |
∴
| A1B |
| A1D |
| B1P |
| x |
| 1?x |
设平面BA1D的一个法向量为
| n |
则
|
|
| n |
∴
| n ? |
| B1P |
| x |
| 1?x |
| 1 |
| 2 |
故CD=C1D．
（II）由（I）知，平面BA1D的一个法向量为
| n |
| 1 |
| 2 |
又
| m |
| n |
| m |
|
