Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左顶点和右焦点分别为A，F，右准线为直线m，圆D：x2+y2-6y-4=0．（

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左顶点和右焦点分别为A，F，右准线为直线m，圆D：x2+y2-6y-4=0．（1）若点A在圆D上，且椭圆C的离心率为32，求椭圆C的方程；（2）若直线m上存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆C的离心率的取值范围；（3）若点P在（1）中的椭圆C上，且过点P可作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的取值范围．

Answer 1

（1）对x²+y²-6y-4=0，令y=0，则x=±2．
所以，A（-2，0），a=2（2分）
又因为，e＝

c

a

＝

3

2

，
所以，c＝

3

，（3分）
b²=a²-c²=1（4分）
所以，椭圆C的方程为：

x2

4

+y2＝1．（5分）
（2）由图知△AFQ为等腰三角形a+c＝AF＝QF＞

a2

c

?c（7分）
所以，2c²+ac-a²＞0，2e²+e-1＞0，（2e-1）（e+1）＞0
又0＜e＜1，
所以

1

2

＜e＜1，即椭圆离心率取值范围为(

1

2

，1)．（10分）
（3）连PD交MN于H，连DM，则由圆的几何性质知：H为MN的中点，DM⊥PM，MN⊥PD．
所以，MN＝2MH＝

2MD?MP

PD

＝

2MD PD2?MD2

PD

=2MD?

1? MD2 PD2

⊙D：x²+（y-3）²=13，MD＝

13

所以，MN＝2

13

?

1? 13 PD2

（13分）
设P（x₀，y₀），则

x02

4

+y02＝1且-1≤y₀＜0
所以，PD²=x₀²+（y₀-3）²=-3y₀²-6y₀²+13=-3（y₀+1）²+16（-1≤y₀＜0）
所以，13＜PD²≤16（15分）
所以，O＜MN≤

39

2

．（16分）