Question

f（x，y）在点（x0，y0）连续是偏导数fx（x0，y0）和fy（x0，y0）存在的（　　）A．充分条件B．必要条件C

f（x，y）在点（x0，y0）连续是偏导数fx（x0，y0）和fy（x0，y0）存在的（　　）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．无关条件

Answer 1

f（x，y）在点（x₀，y₀）连续连续，不能保证偏导数存在
设f(x，y)＝

(x2+y)sin( 1 x2+y2 ) ，(x，y)≠(0，0) 0 ，(x，y)＝(0，0)

，则f（x，y）在点（0，0）连续，但是
f′y(0，0)＝

lim

y→0

f(0，y)?f(0，0)

y

=

lim

y→0

ysin 1 |y|

y

=

lim

y→0

sin

1

|y|

不存在
∴f（x，y）在点（0，0）对y的偏导数不存在
同时，偏导数存在，并不一定保证函数连续．如
f(x，y)＝

xy x2+y2 ，(x，y)≠(0，0) 0 ，(x，y)＝(0，0)

，
由定义可以求出f′_x（0，0）=f′_y（0，0）=0，但

lim x→0

y→0

f（x，y）不存在，
因而也就不连续
故f（x，y）在点（x₀，y₀）连续是偏导数f_x（x₀，y₀）和f_y（x₀，y₀）存在的无关条件
故选：D．