Question

设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52，S7=7．（1）求数列{an}的通项公式

设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52，S7=7．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）设公差为d≠0，
∵a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，∴a22+(a2+d)2＝a42+(a4+d)2，
化简得2(a22?a42)+2d(a2?a4)＝0?(a2?a4)(a2+a4+d)＝0，
又d≠0，故a₂-a₄≠0，从而a₂+a₄+d=0，
又S₇=7a₄=7，∴a₄=1．从而a₃=a₂+d=-a₄=-1．
进而d=a₄-a₃=2，
故数列{a_n}的通项公式为an＝1+(n?4)?2＝2n?7，n∈N*．
（2）∵a₁=2-7=-5，a_n=2n-7，
∴数列{a_n}的前n项和：
Sn＝

?5+2n?7

2

?n＝n2?6n，n∈N*．