Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且函数y＝f(x+12)是偶函数又在区间(0，12)上递增．给出四个

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且函数y＝f(x+12)是偶函数又在区间(0，12)上递增．给出四个命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）是奇函数；③函数f（x）图象关于点（1，0）对称；④函数f（x）在区间(52，3)上递减．其中所有正确命题的序号是______．

Answer 1

∵f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期函数，①正确；
∵y＝f(x+

1

2

)是偶函数，∴f（-x+

1

2

）=f(x+

1

2

)，令-x+

1

2

=t，有f（t）=f（1-t），∴有f（x）=f（1-x）；（1）
又f（x+1）=-f（x），∴f（-x+1）=-f（-x），（2），由（1）（2）得-f（-x）=f（x），即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数；②正确；
设P（x₀，y₀）为y=f（x）上任意一点，点P关于（1，0）的对称点为P′（2-x₀，-y₀），由①②正确可知，
f（2-x₀）=f（-x₀）=-f（x₀）=-y₀，即P′（2-x₀，-y₀）也在y=f（x）上，即函数f（x）图象关于点（1，0）对称，③正确；
∵函数y＝f(x+

1

2

)是偶函数，又在区间(0，

1

2

)上递增，∴f（x）在(

1

2

，1)上递减，又f（x+2）=f（x），∴函数f（x）在区间(

5

2

，3)上递减，④正确；
故答案为：①②③④．