Question

定义在R上的单调函数f(x)满足对任意x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=1

(1),求f(0)的值，并判断f（x）的奇偶性。
（2）解关于x的不等式： f(x-x^2 +x)+f(2x)+2<0

Answer 1

（1）f（1）=f（0+1）=f(0)+f(1)=1
所以f（0）=0
f（x）是奇函数
因为f（x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0
所以f（x）=-f（-x）
（2）由于函数定义域为R
因为f（1）=1 所以2=1+1=f（1）+f（1）=f（2）
所以有f（4x-x^2+2)<0
由于函数为在R上的增函数且f（0）=0
所以有4x-x^2+2<0
解得x>2+√6或x<2-√6

Answer 2

1）f(0+0)=f(0)+f(0) f(0)=0
f(-x)=f(x-2x)=f(x)+f(-2x)=f(x)+2f(-x) >>-f(x)=f(-x) 奇函数