数学证明
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构造辅助函数
F(x)=∫[a,b] tf(t)dt-[(a+b)/2]*∫[a,b] f(t)dt，x∈[a,b]。
证明F'(b)>=0即可。
令F(x)=(x-b)∫{a,b}f(t)*g(t)dt-∫{a,b}f(t)dt*∫{a,b}g(t)dt，a≤x≤b
则F’(x)=∫{a,b}f(t)*g(t)dt+(x-a)*f(b)*g(x)-f(b)*∫{a,b}g(t)dt-g(b)*∫{a,b}f(t)dt
=∫{a,b}f(t)*g(t)dt+∫{a,b}f(b)*g(x)dt-∫{a,x}f(x)*g(t)dt-∫{a,b}g(b)*f(t)dt
=∫{a,b}[f(t)*g(t)+f(x)*g(b)- f(b)*g(t)-g(b)*f(t)]dt
=∫{a,b}{[f(t)-f(b)]*[g(t)-g(b)]}dt
∵f(x),g(b)单调且增减性相同，∴[f(t)-f(b)]*[g(t)-g(b)]≥0
故F’(b)≥0，进而F(b)≥F(a)=0
即(b-a)∫{a,b}f(t)*g(t)dt≥∫{a,b}f(t)dt*∫{a,b}g(t)dt
F(x)=∫[a,b] tf(t)dt-[(a+b)/2]*∫[a,b] f(t)dt，x∈[a,b]。
证明F'(b)>=0即可。
令F(x)=(x-b)∫{a,b}f(t)*g(t)dt-∫{a,b}f(t)dt*∫{a,b}g(t)dt，a≤x≤b
则F’(x)=∫{a,b}f(t)*g(t)dt+(x-a)*f(b)*g(x)-f(b)*∫{a,b}g(t)dt-g(b)*∫{a,b}f(t)dt
=∫{a,b}f(t)*g(t)dt+∫{a,b}f(b)*g(x)dt-∫{a,x}f(x)*g(t)dt-∫{a,b}g(b)*f(t)dt
=∫{a,b}[f(t)*g(t)+f(x)*g(b)- f(b)*g(t)-g(b)*f(t)]dt
=∫{a,b}{[f(t)-f(b)]*[g(t)-g(b)]}dt
∵f(x),g(b)单调且增减性相同，∴[f(t)-f(b)]*[g(t)-g(b)]≥0
故F’(b)≥0，进而F(b)≥F(a)=0
即(b-a)∫{a,b}f(t)*g(t)dt≥∫{a,b}f(t)dt*∫{a,b}g(t)dt
追问
可以手写拍照吗…看的我凌乱了
追答
构造辅助函数
G(x)=∫[a,b] tf(t)dt-[(a+b)/2]*∫[a,b] f(t)dt，x∈[a,b]。
证明g'(b)>=0即可。
设g(x)=∫[a,x]tf(t)dt-[(a+x)/2]∫[a,x]f(t)dt a=0
因为f(x)单增，则f(x)-f(t)>0
可得g(x)在x>=a上单调不减，于是g(x)>=g(a)=0，取x=b移项则原命题得证。
这样应该好一点吧？
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