Question

如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC． （1）求证：CA是圆的切线； （2）...

如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC． （1）求证：CA是圆的切线； （2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC= ，tan∠AEC= ，求圆的直径．

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Answer 1

解： （1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°， ∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线． （2）在Rt△AEC中，tan∠AEC= ，∴ , ; 在Rt△ABC中，tan∠ABC= ，∴ , ; ∵BC-EC=BE，BE=6，∴ ,解得AC= , ∴BC= ．即圆的直径为10.

（1）根据圆周角定理BC得到∠BDC=90°，推出∠ACD+∠DCB=90°，即BC⊥CA，即可判断CA是圆的切线； （2）根据锐角三角函数的定义得到 ， ，代入BC-EC=BE即可求出AC，进一步求出BC即可。