Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BD交AB于点E，设⊙O是△BDE的外接圆. （1

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BD交AB于点E，设⊙O是△BDE的外接圆. （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求证： .

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Answer 1

26:(1)说明∠ODC=90度∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线． （2）说明△EDB相似于△DCB即可。

试题分析：（1）证明：连接OD，∵DE⊥DB，⊙O是△BDE的外接圆， ∴BE是直径，点O是BE的中点， ∵∠C=90°，∴∠DBC+∠BDC=90°，又BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC， ∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，则∠ODB+∠BDC=90°即∠ODC=90° 又∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线． （2）依题意知，Rt△EDB和Rt△DCB中，∠EDB=∠C=90°。因为DB平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC。 所以Rt△EDB∽Rt△DCB。则 所以可得 点评：本题难度中等，主要考查学生对圆与相似三角形性质知识点的掌握，为中考常考题型，注意数形结合应用。