Question

如图，梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=AD=DC=2，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，连接EF．（1）求证：四

如图，梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=AD=DC=2，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，连接EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若点G是BC边上的一个动点，当点G在什么位置时，四边形DEFG是矩形？并求出这个矩形的周长；（3）在BC上能否找到另外一点G′，使四边形DEG′F的周长与（2）中矩形DEFG的周长相等，请简述你的理由．

Answer 1

（1）证明：∵梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=AD=DC=2， ∴四边形ABCD为等腰梯形，∠C=60°， ∴∠BAD=∠ADC=120°， 又∵△ABD为等腰三角形，AE⊥BD， ∴∠EAD= 1 2 ∠BAD=60°，BE=DE， 在Rt△ADE中，∠ADE=90°-∠EAD=30°， ∴∠BDC=∠ADC-∠ADE=90°， ∴AE ∥ DF， ∵E、F两点为BD、CD边的中点， ∴EF ∥ BC ∥ AD， ∴四边形AEFD是平行四边形； （2）延长AE交BC于G，连接FG， ∵BE=ED，AE ∥ CD，∴AD=BG=GC， ∴G点为BC的中点， ∴FG ∥ DE， 而∠EDF=90°， ∴四边形DEGF是矩形， 在Rt△DEF中，DE= 3 ，DF=1， ∴矩形的周长=2+2 3 ； （3）可以． 当CG′=CF=1时，△G′EF与△DEF关于直线EF轴对称， DF=FG′，DE=EG′， 则四边形DEG′F的周长=2+2 3 ； 周长不变．