Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若CD=6，AC=8，求AE．

Answer 1

（1）证明：连接OD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD ∥ AC， ∵∠C=90°， ∴∠ODC=90°， ∴OD⊥BC， ∵OD为半径， ∴BC是⊙O切线； （2） 在Rt△ADC中，AC=8，CD=6， 由勾股定理得：AD=10． 连接DE， ∵AE为直径， ∴∠EDA=∠C=90°， ∵∠CAD=∠EAD， ∴△DCA ∽ △EDA， ∴ AE AD = AD AC ， ∴ AE 10 = 10 8 ， AE=12.5．