Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B（2，0），三角形△

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B（2，0），三角形△ABO的面积为2．动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在射线OB上运动，动点Q从B出发，沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动，过P作PM⊥X轴交直线AB于M．（1）求直线AB的解析式．（2）当点P在线段OB上运动时，设△MPQ的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．（3）过点Q作QN⊥X轴交直线AB于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使△MNQ是等腰三角形？若存在，求出时间t值．

Answer 1

（1）∵点B（2，0），
∴OB=2，
∴S_△ABO=

1

2

OB?OA=

1

2

×2?OA=2，
解得OA=2，
∴点A（0，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则

b＝2 2k+b＝0

，
解得

k＝?1 b＝2

，
∴直线AB的解析式为y=-x+2；

（2）∵OA=OB=2，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∵点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，
∴PM=PB=OB-OP=2-t，
PQ=OB=2，
∴△MPQ的面积为S=

1

2

PQ?PM=

1

2

×2×（2-t）=2-t，
∵点P在线段OB上运动，
∴0＜t＜2，
∴S与t的函数关系式为S=2-t（0＜t＜2）；

（3）t秒时，PM=PB=|2-t|，QN=BQ=t，
所以，QM²=PM²+PQ²=（2-t）²+4，
MN=

2

（QN-PM）=

2

（t-t-2）=2

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