Question

已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2的直线

已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且F1P⊥F1Q，求直线l的方程．

Answer 1

（1）由题意可得椭圆的焦点在x轴，且c=1，b=1，
∴a²=b²+c²=2，∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2＝1；
（2）当直线l无斜率时，不满足

F1P

⊥

F1Q

；
故可设直线l的斜率为k，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
可得且

F1P

=（x₁+1，y₁），

F1Q

=（x₂+1，y₂）
可得直线l的方程为y=k（x-1），
联立椭圆方程

x2 2 +y2＝1 y＝k(x?1)

消去y并整理可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
由韦达定理可得x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2?2

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