已知函数f(x)＝1+1nxx．（1）若函数f（x）在区间(a，a+13)(a＞0)上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）
已知函数f(x)＝1+1nxx．（1）若函数f（x）在区间(a，a+13)(a＞0)上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）知果当x≥1时，不等式f(x)≥kx+1恒成立...
已知函数f(x)＝1+1nxx．（1）若函数f（x）在区间(a，a+13)(a＞0)上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）知果当x≥1时，不等式f(x)≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：[(n+1)!]2＞(n+1)en?2+2n+1，这里n∈N*，（n+1）!=1×2×3×…×（n+1），e为自然对数的底数．
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（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=
=-
，
f′（x）＞0?lnx＜0?0＜x＜1，
f′（x）＜0?lnx＞0?x＞1，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，函数f（x）在x=1处取得唯一的极值，
由题意，a＞0，且a＜1＜a+
，解得
＜a＜1，
所以实数a的取值范围为
＜a＜1；
（2）当x≥1时，f（x）≥
?
≥
?k≤
，
令g（x）=
（x≥1），由题意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，
g′（x）=
=
，
令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′（x）=1-
≥0，当且仅当x=1时取等号，
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=1＞0，
因此g′（x）=
＞0，g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）min=g（1）=2，
所以k≤2；
（3）由（2），当x≥1时，f（x）≥
，即
≥
，
从而lnx≥1-
＞1-
，
令x=k（k+1），k∈N+，则有ln[k（k+1）]＞1-
，
分别令k=1，2，3，…，n（n≥2）则有ln（1×2）＞1-
，ln（2×3）＞1-
，…，
ln[n（n-1）]＞1-
| ||
| x2 |
| lnx |
| x2 |
f′（x）＞0?lnx＜0?0＜x＜1，
f′（x）＜0?lnx＞0?x＞1，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，函数f（x）在x=1处取得唯一的极值，
由题意，a＞0，且a＜1＜a+
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
所以实数a的取值范围为
| 2 |
| 3 |
（2）当x≥1时，f（x）≥
| k |
| x+1 |
| 1+lnx |
| x |
| k |
| x+1 |
| (x+1)(1+lnx) |
| x |
令g（x）=
| (x+1)(1+lnx) |
| x |
g′（x）=
| [(x+1)(1+lnx)]′?x?(x+1)(1+lnx) |
| x2 |
| x?lnx |
| x2 |
令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′（x）=1-
| 1 |
| x |
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=1＞0，
因此g′（x）=
| h(x) |
| x2 |
所以k≤2；
（3）由（2），当x≥1时，f（x）≥
| 2 |
| x+1 |
| 1+lnx |
| x |
| 2 |
| x+1 |
从而lnx≥1-
| 2 |
| x+1 |
| 2 |
| x |
令x=k（k+1），k∈N+，则有ln[k（k+1）]＞1-
| 2 |
| k(k+1) |
分别令k=1，2，3，…，n（n≥2）则有ln（1×2）＞1-
| 2 |
| 1×2 |
| 2 |
| 2×3 |
ln[n（n-1）]＞1-
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