Question

已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f（x0）=f′（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，

已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f（x0）=f′（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是（　　）①f（x）=x2，②f（x）=e-x，③f（x）=lnx，④f（x）=tanx，⑤f(x)＝x+1x．A．2B．3C．4D．5

Answer 1

①中的函数f（x）=x²，f′（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x²=2x，解得x=0或2，可见函数有巧值点；
对于②中的函数，要使f（x）=f′（x），则e^-x=-e^-x，由对任意的x，有e^-x＞0，可知方程无解，原函数没有巧值点；
对于③中的函数，要使f（x）=f′（x），则lnx=

1

x

，

由函数f（x）=lnx与y=

1

x

的图象知，它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；
对于④中的函数，要使f（x）=f′（x），则tanx=

1

cos2x

，即sinxcosx=1，sin2x=2，显然无解，原函数没有巧值点；
对于⑤中的函数，要使f（x）=f′（x），则x+

1

x

=1-

1

x2

，即x³-x²+x+1=0，
设函数g（x）=x³-x²+x+1，g′（x）=3x²+2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，
显然函数g（x）在（-1，0）上有零点，原函数有巧值点．
故有“巧值点”的函数为①③⑤，共3个．
故选：B．