Question

如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=6，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠BEC=∠ACB，BE的延长线与边AC相交于

如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=6，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠BEC=∠ACB，BE的延长线与边AC相交于点F．（1）求证：BE?CD=BD?BC；（2）设AD=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AD=3，求线段BF的长．

Answer 1

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BEC=∠ACB，
∴∠BEC=∠ABC．
又∵∠BCE=∠DCB，
∴△CBE∽△CDB．
∴

CB

CD

＝

BE

DB

．
即BE?CD=BD?BC．

（2）解：∵△CBE∽△CDB，
∴∠CBE=∠CDB．
又∵∠FCB=∠CBD．
∴△FCB∽△CBD．
∴

FC

CB

＝

CB

BD

，
∵BD=AB-AD=12-x，
∴

FC

6

＝

6

12?x

，
∴FC＝

36

12?x

．
∵AF=AC-CF，
∴y＝12?

36

12?x

，
∴y关于x的函数解析式是y＝

108?12x

12?x

，定义域为0＜x≤9．

（3）解：过点A、F分别作AG⊥BC、FH⊥BC，垂足分别为G、H，如图
∴cos∠ACG＝

CH

CF

＝

CG

AC

，
∵AD=3，CF=

36

12?3

＝4，CG=

1

2

BC＝3．
∴

CH

4

＝

3

12

，
∴CH=1．
∴FH²=CF²-CH²=16-1=15．
∵BH=BC-CH=6-1=5，
∴BF=

BH2+FH2

＝

25+15

＝2

10

．