如图,在△ABC中,AB=AC=12,BC=6,点D在边AB上,点E在线段CD上,且∠BEC=∠ACB,BE的延长线与边AC相交于
如图,在△ABC中,AB=AC=12,BC=6,点D在边AB上,点E在线段CD上,且∠BEC=∠ACB,BE的延长线与边AC相交于点F.(1)求证:BE?CD=BD?BC...
如图,在△ABC中,AB=AC=12,BC=6,点D在边AB上,点E在线段CD上,且∠BEC=∠ACB,BE的延长线与边AC相交于点F.(1)求证:BE?CD=BD?BC;(2)设AD=x,AF=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;(3)如果AD=3,求线段BF的长.
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解答:(1)证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠BEC=∠ACB,
∴∠BEC=∠ABC.
又∵∠BCE=∠DCB,
∴△CBE∽△CDB.
∴
=
.
即BE?CD=BD?BC.
(2)解:∵△CBE∽△CDB,
∴∠CBE=∠CDB.
又∵∠FCB=∠CBD.
∴△FCB∽△CBD.
∴
=
,
∵BD=AB-AD=12-x,
∴
=
,
∴FC=
.
∵AF=AC-CF,
∴y=12?
,
∴y关于x的函数解析式是y=
,定义域为0<x≤9.
(3)解:过点A、F分别作AG⊥BC、FH⊥BC,垂足分别为G、H,如图
∴cos∠ACG=
=
,
∵AD=3,CF=
=4,CG=
BC=3.
∴
=
,
∴CH=1.
∴FH2=CF2-CH2=16-1=15.
∵BH=BC-CH=6-1=5,
∴BF=
=
=2
.
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠BEC=∠ACB,
∴∠BEC=∠ABC.
又∵∠BCE=∠DCB,
∴△CBE∽△CDB.
∴
CB |
CD |
BE |
DB |
即BE?CD=BD?BC.
(2)解:∵△CBE∽△CDB,
∴∠CBE=∠CDB.
又∵∠FCB=∠CBD.
∴△FCB∽△CBD.
∴
FC |
CB |
CB |
BD |
∵BD=AB-AD=12-x,
∴
FC |
6 |
6 |
12?x |
∴FC=
36 |
12?x |
∵AF=AC-CF,
∴y=12?
36 |
12?x |
∴y关于x的函数解析式是y=
108?12x |
12?x |
(3)解:过点A、F分别作AG⊥BC、FH⊥BC,垂足分别为G、H,如图
∴cos∠ACG=
CH |
CF |
CG |
AC |
∵AD=3,CF=
36 |
12?3 |
1 |
2 |
∴
CH |
4 |
3 |
12 |
∴CH=1.
∴FH2=CF2-CH2=16-1=15.
∵BH=BC-CH=6-1=5,
∴BF=
BH2+FH2 |
25+15 |
10 |
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