Question

已知(1+tana)/(1—tana)=3+2根号2，求证：（sina+cosa)²-cosa的三次方/sina=1

Answer 1

(1+tana)/(1-tana)=-1+2/(1-tana)=3+√2
1/(1-tana)=2+√2
1-tana=(2-√2)/2
tana=√2/2
sina/cosa=√2/2
(sina)^2/(cosa)^2=1/2
(sina)^2/(cosa)^2+1=3/2
[(cosa)^2+(sina)^2]/(cosa)^2=3/2
1/(cosa)^2=3/2
(cosa)^2=2/3

cota=1/tana=√2
(cota)^2=(cosa/sina)^2=2
(cosa/sina)^2+1=3
[(cosa)^2+(sina)^2]/(sina)^2=3
1/(sina)^2=3
(sina)^2=1/3

所以(sinacosa)^2=2/3*1/3=2/9
因为sina/cosa=√2/2 〉0
所以sinacosa>0
所以sinacosa=√2/3

所以：（sina+cosa)²-cosa的三次方/sina
=(sina)^2+(cosa)^2+2sinacosa-cosa^3/sina
=1+2√2/3-2√2/3=1

Answer 2

1.
由(1+tana)/(1-tana)=3+2√2得：tana=√2/2，即sina/cosa=√2/2，又因为(sina)^2+(cosa)^2=1
解得：3(sina)^2=1。
2.
（sina+cosa)²--cosa^3/sina
=(sina)^2+(cosa)^2+2sinacosa-cosa^3/sina 将（sina+cosa)²代换成
(sina)^2+(cosa)^2+2sinacosa
=1+[2(sina)^2cosa-cosa^3]/sina 因为(sina)^2+(cosa)^2=1,并将上式后两项通分
=1+[cosa(2(sina)^2-cosa^2)]/sina 上式后两项提取公因式cosa
=1+[2(sina)^2-cosa^2]/tana 因为cosa/sina =1/tana
=1+[3(sina)^2-1]/tana 因为 2(sina)^2-cosa^2= 2(sina)^2-(1-(sina)^2) =3(sina)^2-1
由1.可得：3(sina)^2=1，即3(sina)^2-1=0
所以原式=1+0/tana=1+0=1
证毕