Question

已知y=f(x)是定义在R上的函数，

对任意x属于R有f(x+2)[1-f(x)]=f(x)+1成立。1。证明F(X)是周期函数。2。若f(1)=-2,求f(2005)的值。

Answer 1

由f(x+2)[1-f(x)]=f(x)+1得：
f(x+2)= [f(x)+1]/[1-f(x)]
所以f(x+4)= f((x+2)+2) =[f(x+2)+1]/[1-f(x+2)]
={[f(x)+1]/[1-f(x)]+1}/{1- [f(x)+1]/[1-f(x)]}
=[ f(x)+1+1-f(x)]/ {1-f(x)- [f(x)+1]}
=2/[-2 f(x)]=-1/ f(x),
从而f(x+8)=f((x+4)+4)=- 1/ f(x+4)=f(x).
所以函数是周期函数，周期为8
f(2005)=f(8×250+5)=f(5)= f(1+4)=-1/f(1)=1/2.