Question

数学2次函数的题

已知抛物线y=-(x-m)²+1轴的交点为A、B两点(B在A的右边),与y轴的交点为C
（1）当△ABC得面积为3时且对称轴在y轴的右侧时，求A、B两点的坐标
（2）当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形?若存在,求出m的值；若不存在，请说明理由。
（3）在（1）的前提下，抛物线的顶点为M，过点M作x轴的垂线，垂足为H，在x轴上是否存在点N，使△MHQ与△AOC相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：(1) 令-(X-m)²+1=o得：

X=m+1 或 m-1.

此时A与B 的距离为：(m+1)-(m-1)=2.

以AB当底,面积为3，则点C到原点的距离应为3。由y=-(x-m)²+1
=-x²+2mx-m²+1得:

c=1-m²

则有 1-m²=3或-3。（+3舍去）
m²=4 此时对称轴在Y轴右方 ,故m=2.

m+1=3 m-1=1

则A和B坐标分别为：A(1,0) B(3,0) .

(2) 存在，m=2. 理由：
B在原点右边、C在原点下边，则对称轴必在Y轴右边（m大于零）。此时B(m+1,0),C(0,1-m²)。若BOC等腰，则需OB=OC,即 m+1=-(1-m²)。（无其他情形）。

解得 m=2, m=-1(舍去)

（3）X轴上存在四个N点,使得三角形MHN与三角形AOC相似.

在（1）前提下，m=2,抛物线为:

y=-(x-2)²+1， 顶点坐标为M(2,1),

易知C(0,-3)，H(2,0). MH=1.

直角三角形AOC中，直角边AO=1, OC=3。

两直角边之比为3比1。

若满足相似，已知MH=1,必须有HN=1/3 或HN=3.故N点坐标为：(-1,0)或(5,0)或(5/3,0)或(7/3,0).