Question

已知函数f(x)=[1/(2^x-1)+1/2]x

已知f(x)=[1/(2^x-1)+1/2]x
⑴求函数的定义域;
⑵判断函数f(x)的奇偶性并证明;
⑶证明:f(x)＞0

Answer 1

(1).易得∵  2^x-1≠0,

        ∴  x≠0

    即x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)

(2).定义域范围关于y轴对称，故可以讨论奇偶性

     f(-x)={1/[2^(-x)-1]+1/2}(-x)

         =[2^x/(1-2^x)+1/2](-x)

         =[-1+1/(1-2^x)+1/2](-x)

         =[-1/(2^x-1)-1/2](-x)

         =[1/(2^x-1)+1/2]x

    ∴f(x)是偶函数

(3).若x＞0，则2^x-1＞0, 1/(2^x-1)+1/2＞0

     ∴f(x)＞0 

    若x＜0，则0＜2^x＜1，-1＜2^x-1＜0

    ∵1/(2^x-1)+1/2=[1/2 (2^x+1)]/(2^x-1)

    ∴1/2 (2^x+1)＞0,(2^x-1)＜0

    ∴1/(2^x-1)+1/2＜0，∴f(x)＞0 

   综上所述，f(x)＞0

  有不明白的可以补充说明，我再详细说。