Question

高等数学，对坐标的曲面积分，算的结果总是错误，怎么做？求详细过程！

Answer 1

补充半球底面 ∑1: z = 0， 取下侧，
原曲面积分 I = ∫∫<∑+∑1> - ∫∫<∑1>, 前者用高斯公式
I = ∫∫∫<Ω>x^2y^2dv - ∫∫<x^2+y^2≤R^2> 0 dxdy
= ∫<0,π/2> dφ ∫<0,2π> dθ ∫<0,R>(rsinφcosθ)^2(rsinφsinθ)^2*r^2sinφdr
= ∫<0,π/2>(sinφ)^5dφ ∫<0,2π>(sinθcosθ)^2dθ ∫<0,R>r^6dr
= -(1/7)(1/4) ∫<0,π/2>(sinφ)^4dcosφ ∫<0,2π>(sin2θ)^2dθ
= -(1/28)(1/4) ∫<0,π/2>[1-(cosφ)^2]^2dcosφ ∫<0,2π>(1-cos4θ)dθ
= -(1/112) ∫<0,π/2>[1-2(cosφ)^2+(cosφ)^4]dcosφ ∫<0,2π>(1-cos4θ)dθ
= -(1/112)[cosφ-(2/3)(cosφ)^3+(1/5)(cosφ)^5]<0,π/2>[θ-(1/4)sin4θ]<0,2π>
= -(1/112)(-8/15)(π/2) = π/420

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答案不对

追答

请公布答案， 再查。

追问

答案 2/105πR^7

追答

计算有误，重算如下：

补充半球底面 ∑1: z = 0， 取下侧，
原曲面积分 I = ∫∫ - ∫∫, 前者用高斯公式
I = ∫∫∫x^2y^2dv - ∫∫ 0 dxdy
= ∫ dφ ∫ dθ ∫(rsinφcosθ)^2(rsinφsinθ)^2*r^2sinφdr
= ∫(sinφ)^5dφ ∫(sinθcosθ)^2dθ ∫r^6dr
= -(R^7/7)(1/4) ∫(sinφ)^4dcosφ ∫(sin2θ)^2dθ
= -(R^7/28)(1/2) ∫[1-(cosφ)^2]^2dcosφ ∫(1-cos4θ)dθ
= -(R^7/56) ∫[1-2(cosφ)^2+(cosφ)^4]dcosφ ∫(1-cos4θ)dθ
= -(R^7/56)[cosφ-(2/3)(cosφ)^3+(1/5)(cosφ)^5] * [θ-(1/4)sin4θ]
= -(R^7/56)(-8/15)(2π) = 2πR^7/105

Answer 2

。