Question

一道几何题，关于求最小值，需要过程，急需

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上的一个动点，PE⊥AB于点E，PE⊥AC于点F，则EF的最小值为（ ）。
∠BEP,∠EPF,∠PFC=90°

Answer 1

设PE=x，PF=y，EF=z，由题意，
EP∥AC，PF∥AB

∴△BEP∽△ABC∽△PEC
∴x/AC=BP/BC（1） y/AB=CP/BC（2）
（1）+（2）并带入数据得
1=x/3+y/4
由勾股定理
z²=x²+y²=144/25*（x²+y²）（1/3²+1/4²）≥144/25（x/3+y/4）²=144/25
∴z≥12/5
即EF最小值为12/5

基本思路即将求几何最值问题转化为方程问题，适当设参数并根据条件寻找关系，该解法后面的求最值部分也可以将参数y用z表示，带入关于z的方程，并利用二次函数的知识求解。

Answer 2

连接AP,则AP=EF
当AP与BC垂直时,AP最小,
∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4
∴BC=5
∴AP*BC=AC*AB
∴AP=12/5
即EF的最小值是12/5

追问

为什么AP=EF