Question

求密度均匀的球体x^2+y^2+z^2<=2z对z轴的转动惯量Jz

答案是8μπ/15，其中μ表示密度。
请给出解题过程。
另外，

图里面这个过程是我自己做的，但是结果算出来是16μπ/15，不知道是哪个步骤不对，望指出错误指出。

Answer 1

具体回答如图：

转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。

扩展资料：

转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。

而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

一个物体以角速度ω绕固定轴z轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说，绕z轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加。

利用平行轴定理可知，在一组平行的转轴对应的转动惯量中，过质心的轴对应的转动惯量最小。

参考资料来源：百度百科--转动惯量

参考资料来源：百度百科--球体

Answer 2

提供两种方法：

 

 

先二后一法

追问

非常感谢，不过能说说为啥我图中用的那样不对吗？
是不是因为被积函数(x^2+y^2)跟x，y相关，所以不能直接等价用z来表示？能够解释一下为什么吗？

Answer 3

J=∫∫∫u*(x^2+y^2)dV (利用柱坐标变换计算三重积分)
= u*∫{0,2*Pi}dt∫{0,1}rdr∫{0,2}(2z-z^2)dz
=u*2×Pi×（1/2）×[z^2-z^3/3]{0,2}
=u*2×Pi×（1/2）×[4- 8/3]
=(4*u*Pi)/3
注意被积函数是x^2+y^2=2z-z^2,不是(2z-z^2)^2

Answer 4

　　提供两种方法: 先二后一法。
　　空间中到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做球，球体是一个连续曲面的立体图形，由球面围成的几何体称为球体。
　　定义：空间中到定点的距离小于或等于定长的所有点组成的图形叫做球，如图上图所示的图形为球体。
　　球体是一个连续曲面的立体图形，由球面围成的几何体称为球体。
　　世界上没有绝对的球体。绝对的球体只存在于理论中。
　　但在失重环境（如太空）中，液滴自动形成绝对球体。