Question

求个数学专业大神，关于运筹学二次规划正定矩阵的问题

这是一个关于二次规划正定矩阵存在唯一解的定理
求个数学专业的大神，解释一下这个证明过程中红笔画过的地方，另外还有教授关于证明画的图，我也没看懂

据我估计那个四分之一圆应该是指的||x||>R里面的R

抱歉，用了英文，不是为了装b，而是我的中文实在拿不出手，当然英文也没好到哪里去，总归稍强点

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Answer 1

应该是用的weierstrass定理吧。
先找到x0,证明当||x||>x0时，F(x)>F(x0),
这样最小值不会大于F(x0)，
上面的1/4圆的半径应该是||x0||，
右上方的x对应的F大于F(x0)，
所以最小值在1/4圆内达到。
1/4圆内是有界闭集，根据Weierstrass定理，定义在闭区间上的连续函数必有最大值和最小值，所以......

追问

笔记里没有提过weierstrass定理，我在wiki上搜了一下，感觉哪个都对不上啊，定理的具体内容是什么呢？

你是说||x||>||x0||吧？那也就是说当x0在Z0上时，满足F(x)>F(x0)，那下面的x0在Z\Z0上何解—？在这里x0和x具体关系是什么？

尤其是x'Qx + c'x ≥ x 这里究竟是怎么得出来的？

图里的阴影部分是可行域Z么？

追答

1. 先证明了   F(x)>=lambda ||x||^2-||c|| ||x||.
   

2. 取个x0，计算 F(x0);  则必有   minF(x)<=F(x0)

   所以，最值只会在 点集 {x|  F(x)<=F(x0)}中达到。

3. 考虑怎么写点集  {x|  F(x)<=F(x0)}，即去掉 使得F(x)>F(x0)的点。（不一定全部去掉，不过砍去大部分点后，上面的点集是有界闭集就可以了。）

4. 因为第一条 F(x)>=lambda ||x||^2-||c|| ||x||，

   只需要lambda ||x||^2-||c|| ||x||>F(x0),

   即 Phi(x)=lambda ||x||^2-||c|| ||x||-F(x0)>0. 

5. 解此不等式。他先解出方程的根，取大的设为R，当||x||>R时，必有

   Phi(x)=lambda ||x||^2-||c|| ||x||-F(x0)>0。

6. 现在缩小可行域，只考虑||x||<=R上的点。Z0取的大点儿也没关系，肯定是个有界闭集。半径取max{x0,R}可能是比较保险的做法。

7. x0不属于Z0应该是不成立的。

   因为，若max=x0，||x0||<=||x0||，x0应该在里面；

    若max=R, ||x0||<R, x0也应该在里面。

8. 或者，最后的笔记是笔误。其实是在讨论x：

   若x属于Z0，Z0是有界闭集（Weierstrass：有界闭区域的连续函数必有最大值和最小值），所以......

   若x在Z|Z0, 根据前面讨论，F(x)>F(x0),min F不会再这些x达到。

   这样，minF只会在Z0达到，根据Weierstrass...

   
   

追问

多谢大神，解释的很透彻。但是如果最后那里是笔误的话，x属于Z\Z0==>x'Qx+c'x>=x这也完全说不通啊？