Question

如图，设抛物线C：y²=2px(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线C于A,B两点，且|AB|=8，

如图，设抛物线C：y²=2px(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线C于A,B两点，且|AB|=8，线段AB的中点到y轴的距离为3.
（1）求抛物线C的方程
（2）若直线l2与圆x² +y²=1/2切于点P，与抛物线C切于点Q，求△FPQ的面积。
求详解，要过程。谢谢！

Answer 1

解：（1）抛物线的准线为x=-P/2。设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂），显然x₁>0,x₂>0。
由抛物线的性质可得：A到准线距离等于AF，B到准线距离等于BF，即x₁+P/2=|AF|，x₂+P/2=|BF|,
又由|AF|+|BF|=x₁+P/2+x₂+P/2=8，而且线段AB的中点到y轴的距离即(x₁+x₂)/2=3，推出：P=2。
于是，抛物线方程：y²=2px=4x。焦点F坐标为（1，0）
（2）设切线l2方程为：y=kx+b（由图可判断k>0,b>0），它与圆x² +y²=1/2相切，即方程x²+(kx+b)²=
1/2的Δ=4k²b²-4(k²+1)(b²-1/2)=0，从而得到：k²=2b²-1...(1)；切线方程也与抛物线y²=4x相切，即方程(kx+b)²=4x的Δ=(2kb-4)²-4k²b²=0，从而得到：kb=1...(2)；联立求解（1）和（2）得：b=1,k=1，于是直线方程为y=x+1；分别求解x²+(x+1)²=1/2、(x+1)²=4x得到P(-1/2,1/2)、Q(1,2)，即|PQ|=3√2/2。
而点F（1，0）到直线l2距离d=|1×1+(-1)×0+1|/√(1²+(-1)²)=√2。因此△FPQ面积=0.5×|PQ|×d=0.5×3√2/2×√2=3/2。

Answer 2

（1）抛物线C：y^2=2px(p＞0)①的焦点为F(p/2,0)，
过点F的直线l1:x=my+p/2,②
把②代入①，y^2-2mpy-p^2=0,
△=4p^2(m^2+1),
∴|AB|=√[△(1+m^2)]=2p(m^2+1)=8，③
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2mp
线段AB的中点到y轴的距离=(x1+x2)/2=[m(y1+y2)+p]/2=(2m^2+1)p/2=3④
③/④，4(m^2+1)/(2m^2+1)=8/3,
3m^2+3=4m^2+2,m^2=1,
代入③，p=2,
∴C:y^2=4x.
(2)对y^2=4x求导得2y*y'=4,y'=2/y,
设Q(t^2,2t),则曲线C在Q处的切线是y-2t=(x-t^2)/t,即x-ty+t^2=0,
它与圆x^2+y^2=1/2切于P,
∴t^2/√(1+t^2)=1/√2，
平方得2t^4=t^2+1,t^2=1,t=土1，
∴Q(1，土2），PQ:x干2y+1=0,
|PQ|=√(5-1/2)=3/√2，
F(1,0)到PQ的距离h=2/√5，
∴S△FPQ=(1/2)|PQ|h=3√10/10.