Question

大一高数！三重积分

看不懂二重积分这里是怎么从∫z^2dz∫∫dxdy变到πab∫z^2(1-z^2/c^2)的

Answer 1

三重积分：

设三元函数f（x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，
将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为ri（i=1，2,3.....n），体积记为Δδi，记||T||=max{ri}，在每个小区域内取
点f（ξi，ηi，ζi），作和式Σf（ξi，ηi，ζi）Δδi，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该
极限为函数f（x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f（x,y,z)dV，其中dV=dxdydz

Answer 2

用的方法是，先算一个二重积分、后算一个定积分。
其中，二重积分的积分变量是x和y，z视为常量，
所以，二重积分∫∫〔Dz〕dxdy的值是Dz的面积，
而对于每个z，Dz由椭圆xx/aa+yy/bb=1-zz/cc★围成的区域，
对式子★两边除以1-zz/cc，得到该椭圆的标准方程，
因为，椭圆的面积=π*长轴*短轴，
所以，该椭圆的面积=π*a√（1-zz/cc）*b√（1-zz/cc）=πab（1-zz/cc）。

Answer 3

二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积，πab(1-z^2/c^2就是D(z)体积.

追问

怎么得来的 D不是一个椭圆吗 为什么是πab (1-z^2/c^2）

追答

可能有点误会，πab(1-z^2/c^2）是以D(z)为底面，高为1的曲顶柱体的体积。