Question

高中数学题求教

1.设an=n*4^n,求数列{an}的前n项和(错位相减法)
2.设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn,若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式,并求Sn的最大值.
3.求数列1又1/2 , 3又1/4 ,5又1/8 ,......的前n项和(分组求和法,提示 :an=(2n-1)+1/2^n

Answer 1

1.an=n*4^n
Sn=1*4+2*4²+3*4³+...+(n-1)*4^(n-1)+n*4^n
4Sn= 1*4²+2*4³+...+(n-1)*4^n+n*4^(n+1)
两式相减得
3Sn=n*4^(n+1)-(4+4²+4³+...+4^n)
=n*4^(n+1)+[4*(1-4^n)/3]
∴Sn=[n*4^(n+1)]/3+[4*(1-4^n)/9]

2.S14=(a1+a14)*14/2=(a4+a11)*7=98
∴a4=14
从而d=-2,a1=20
∴an=a1+(n-1)d=-2n+22
Sn=(a1+an)*n/2=-n²+21n=-(n-10.5)²+10.5²
∴Sn最大值为110

3.
Sn=1+1/2+3+1/4+5+1/8+...+(2n-1)+1/(2^n)
=[1+3+5+...+(2n-1)]+[1/2+1/4+...+1/(2^n)]
=n²+1-(1/2)^n