Question

椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交与P，Q两点且OP垂直于OQ,其中O为坐标原点

椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交与P，Q两点且OP垂直于OQ,其中O为坐标原点
（1）求1/a^2+1/b^2的值
（2）诺椭圆的离心率e满足根号3/3≤e≤根号2/2，求椭圆的长轴的取值范围
诺椭圆的离心率e满足（根号3）/3≤e≤（根号2）/2，求椭圆的长轴的取值范围

过程写下

Answer 1

1、首先证明一个引理：椭圆上任意两条正交半径的倒数平方和为定值，从而恒等于1/a^2+1/b^2。

如图p, q是两条正交半径，将其端点坐标代入椭圆方程有

(pcosα)^2/a^2+(-psinα)^2/b^2=1,   →(cosα)^2/a^2+(sinα)^2/b^2=1/p^2

(qsinα)^2/a^2+(qcosα)^2/b^2=1,  →(sinα)^2/a^2+(cosα)^2/b^2=1/q^2

两式相加即得1/p^2+1/q^2=1/a^2+1/b^2（引理证毕）

再利用一个关于直角三角形的定理：1/a^2+1/b^2=1/h^2, 这里a, b是两直角边，h是斜边上的高。

可得1/p^2+1/q^2=1/h^2=2, 即1/a^2+1/b^2=2.

2、由1/a^2+1/b^2=2, 及e^2=(a^2-b^2)/a^2联立后消去b可得a与e的关系式，将e的范围代入即得a的范围。这个简单，自己做一下。楼上也有正确答案。

 

ααα

Answer 2

1、设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程得(a^2+b^2)x^2-2a^2*x+a^2-a^2b^2=0
所以x1+x2=2(a^2)/(a^2+b^2),x1*x2=(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2),
又OP⊥OQ，所以x1*x2++y1*y2=0,
所以(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)+1-2(a^2)/(a^2+b^2)+(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)=0，化简得1-2/（1/a^2+1/b^2)=0,所以1/a^2+1/b^2=2
2、由（根号3）/3≤e≤（根号2）/2得，1/3≤e^2≤1/2，
所以1/3≤（a^2-b^2)/a^2≤1/2,
所以1/2*a^2≤b^2≤2/3*a^2
所以3/(2a^2)≤1/b^2≤2/a^2
∴5/(2a^2)≤2≤3/a^2
解得5/4≤a^2≤3/2
∴长轴2a的取值范围是[根号5，根号6]

Answer 3

1.x+y=1,x=1-y,y=1-x
椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1
OP垂直于OQ,交点 P(0,1),Q(1,0)
X^2/a^2+(1-x)^2/b^2=1;x=0 ==>1/b^2=1
(1-y)^2/a^2+y^2/b^2=1;y=1 ==> 1/a^2=1
1/a^2+1/b ^2=2

2.
离心率e=√[(a^2-b^2)/a^2]=根号[(a^2-b^2)/a^2]
（根号3）/3≤e≤（根号2）/2
3/9≤ e^2 ≤2/4
(1/3) ≤ [(a^2-b^2)/a^2] ≤ 1/2
(1/3)a^2 ≤ (a^2-b^2) ≤ 1/2 a^2
(3/2)b^2 ≤ a^2 ≤ 2b^2
椭圆的长轴的取值范围
根号(3/2)b ≤ a ≤ 根号(2)b

Answer 4

离心率e=√[(a^2-b^2)/a^2]=根号[(a^2-b^2)/a^2]
（根号3）/3≤e≤（根号2）/2
3/9≤ e^2 ≤2/4
(1/3) ≤ [(a^2-b^2)/a^2] ≤ 1/2
(1/3)a^2 ≤ (a^2-b^2) ≤ 1/2 a^2
(3/2)b^2 ≤ a^2 ≤ 2b^2
椭圆的长轴的取值范围
根号(3/2)b ≤ a ≤ 根号(2)b

Answer 5

图图