Question

如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90度，AD⊥BC于点 D,BE平分∠ABC交AD于点E,EF∥

如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90度，AD⊥BC于点 D,BE平分∠ABC交AD于点E,EF∥BC交AC于点F,求证AE等于CF

Answer 1

证明：

设BE延长线交AC于G。过点G作GH⊥BC于H。

∵∠BAC=90°

∴∠ABG+∠AGB=90°

∵AD⊥BC

∴∠CBG+∠BED=90°

∵BE平分∠ABC

∴∠ABG=∠CBG

∴∠AGB=∠BED=∠AEG

∴AG=AE

∵BG平分∠ABC，∠BAG=∠BHG=90°

∴AG=GH（角平分线上的点到角两边距离相等）

∴AE=GH

∵EF//BC

∴∠AEF=∠ADC=90°=∠GHC，∠AFE=∠C

∴△AEF≌△GHC（AAS）

∴AF=CG

∴AF-GF=CG-GF

即AG=CF

∴AE=CF