Question

同济版高等数学 在利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理问题

在利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理中，书上利用了有向线段NM作为f(a)=f(b)=0 来求得拉格朗日。 但是罗尔定理中，f(a)=f(b)是函数是曲线纵坐标的值相等，但是这里是求格朗日中值定理，是利用垂线NM线段变化的长度为0，来求拉格朗日定理的。 为什么可以这样？
书上这里NM是垂直于X数轴且长度变化的线吗？怎么理解NM

Answer 1

NM是假定的一个辅助变量，它的值可以任意变动，当NM取特殊值0时，罗尔中值定理刚好和拉格朗日中值定理形式是一致的；当NM非0时用函数式来说明拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的广泛一般形式。这是用函数的思想，把满足特殊形式的规律推广到一般形式的过程。

追问

NM具体在图上是什么呢？ 是竖直的一个长度变化的线段吗 ？ 在最左端是不是就是上下缩小变成一个点了？ 然后往右边放大，再最左边又上下缩小变成一个点？

追答

是的，当x 趋近于两端时，NM就是一个点。NM是坐标同为x时的曲线与直线的纵坐标差值的绝对值，也就是φ（x）。L(x)方程可由AB两点坐标写出，AB在f(x)图像上，因此可写出φ（x）的方程，这个方程从外形就能看出规律，使用罗尔中值定理成立，因此由它推导出的求导形式方程成立。而这个求导形式的方程就是拉格朗日中值定理。