Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}满足a1=b1=1,S3=b3+2,S5=b5-1

（1）求{an}{bn}的通项公式
（2）如果{bn}为递增数列，求数列{an·bn}的前n 项和

Answer 1

1）
由题可得
Sn=na1+n(n-1)d/2
bn=b1*q^(n-1)
S3=3a1+3d=b3+2=b1*q²+2
S5=5a1+10d=b5-1=b1*q^4-1
=====>
3d+1=q²
10d+6=q^4
=====>
9d²-4d-5=0
(d-1)(9d+5)=0
∴d=1或者d=-5/9
∵3d+1=q²≥0
∴d≥-1/3＞-5/9
∴d=-5/9舍去
∴d=1
∴q=±2
∴an=a1+(n-1)d=1+n-1=n
bn=b1*q^(n-1)=2^(n-1)或bn=(-2)^(n-1)
2）
如果{bn}为递增数列，则q=2
bn=2^(n-1)
记cn=an*bn，{cn}的前n项和为Tn，则
cn=n*2^(n-1)
Tn=c1+c2+c3+……+c(n-1)+cn
=1*2^0+2*2^1+3*2^2+……+(n-1)*2^(n-2)+n*2^(n-1)
2Tn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n
Tn=2Tn-Tn=n*2^n-(2^(n-1)+……+2^3+2^2+2^1+2^0)
=n*2^n-1(1-2^n)/(1-2)
=n*2^n+1+2^n
=(n+1)*2^n+1为所求

其实你的第一问的疑问，最后q是不用排除-2的，因为如果第一问就排除-2，那么第二问就不需要附加一个{bn}为递增数列的条件了，所以第一问的答案照样把正负2的答案都写上去就可以了。

Answer 2

an＝n,bn＝2∧（n-1）。Sn＝（n-1）2∧n ＋1

追问

第一问，你用什么方法求的？我算出来的{an}公差一个是1，一个是-5/9，-5/9我舍去了，但是我算出来{bn}的公比又是2和-2两个，怎么舍去负的？