Question

如果对任意x1,x2∈R,都有f[(x1+x2)/2]≤1/2[f(x1)+f(x2),则称函数f(x)是R上的凹函

定义在R上的函数f(x)满足:如果对任意x1,x2∈R,都有f〔x1+x2）/2〕≤1/2〔f(x1)+f(x2)〕, 则称f(x)为R上的凹函数。
已知二次函数f(x)=ax^2+x(a∈R,a≠0)。
（1） 当a=1时,试判断函数f(x）是否为凹函数，并说明理由；
（2） 如果x∈[0,1]时 ，|f(x)| ≤1，试求实数a的取值范围。

Answer 1

（1）证明：对任意x1、x2∈R,∵a＞0,

∴〔f(x1)+f(x2)〕-2f()=ax12+x1+ax22+x2-2〔a()2+）〕

=ax12+ax22-a(x12+x22+2x1x2)=a(x1-x2)2≥0.

∴f()≤〔f(x1)+f(x2)〕.

∴函数f(x)是下凸函数.

(2)解：由|f(x)|≤1-1≤f(x)≤1-1≤ax2+x≤1. (*)

当x=0时，a∈R;当x∈(0,1)时，(*)式即恒成立,即

恒成立.

∵x∈(0,1],∴≥1.

∴当=1时，-(+)2+取得最大值-2；当=1时，(-)2-取得最小值0.

∴-2≤a≤0,结合a≠0，得-2≤a＜0.

综上，a的范围是〔-2,0).