Question

F1F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交于P.Q两点。PF1垂直于PQ且|PF1|=|PQ|，求离心率?

Answer 1

设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,连结F1Q，
离心率为e=c/a,c=ea,
根据椭圆定义，m+n=2a,
n=2a-m,(1)
<F1PF2=90度，
根据勾股定理，
m^2+n^2=(2c)^2=(2ea)^2=4e^2a^2,(2)
(1)代入（2），消去n,
m^2+(2a-m)^2=4e^2a^2,
2m^2+4a^2-4am+m^2-4e^2a^2=0,(3)
|PF1|=|PQ|，
△PF1Q是等腰直角△，
|F1Q|=√2|PF1|=√2m,
|F1Q|+|F2Q|=2a,
|F2Q|=|PQ|-|PF2|=m-n,
√2m+m-n=2a,(4)
则（1）代入，
√2m+m-（2a-m)=2a,
m=(4-2√2)a,
代入（3）式，
12a^2-8√2a^2=4e^2a^2,
e^2=3-2√2,
e=√2-1.
∴离心率e为√2-1.