Question

一道初二几何题怎么做？

在一个锐角三角形ABC中，角B等于2倍的角C，求证：AC<2AB （麻烦写清楚过程，谢谢！）

Answer 1

此题要证明AC<2AB ，那么最好就要创造一个与AB相等的线段。因为此题是一个锐角三角形，所以不可能在BC的延长线上取一与AB相等的线段（在三角形外部确实可以找到很多与AB相等的线段，但个人认为画出线段后不大好证明.......)，因此我们可以假设在BC线段上取一点E，使得AB=AE。此时可以得到一个三角形ACE，因此可以得到AE+CE>AC。如果CE=AE的话，那么万事大吉。在一个三角形里，如果有一个这么个形状的相等线段，你能想到什么？我们可以想到直角三角形的一个结论：斜边中线等于斜边一半。依照这个思想，过点A做AC的垂线并交BC的延长线于点D，依照这个图形，再取DC中点E，再证明△ABE是等腰三角形，就OK了.......

我把推理过程写一遍：

过点A做AC的垂线并交BC的延长线于点D，并取DC中点E。

∵RT△ADC,DE=CE

∴AE=DE=CE

∴∠EAC=∠C

∵∠AEB是△AEC的外角

∴∠AEB=2∠C=∠ABC

∴AB=AE=CE

∵三角形任意两边之和大于第三边

∴AE+CE>AC

∴2AE>AC

∴2AB>AC

Answer 2

由正弦定理：sinB:sinC=AC:AB=sin2C:sinC=2sinCcosC:sinC=2cosC<2
所以AC<2AB