Question

高中数学函数题！

f(x)在(0,+∞)上是单调函数，且有f(x)*f[f(x)+1/x]=1，求f(1)。此题究竟该怎么做？请数学高手帮忙解答！

Answer 1

这是关于反函数应用的一道题，只有具有单调性的函数才具有反函数。那么本题符合函数具有反函数的特性，所以先利用反函数进行变换：令f(x)＝Y，则f(x)的反函数设为g(Y) ＝x
由f(x)• f[f(x)＋1/x] ＝1,得
Y•f[Y＋1/ g(Y)] ＝1，则
f[Y＋1/ g(Y)] ＝1/Y
再利用反函数特性把
f[Y＋1/ g(Y)] ＝1/Y转化成
g（1/Y）＝Y＋1/ g(Y) ① 再利用①式写出②
g（Y）＝1/Y＋1/ g(1/Y) ② 用①、②两式联立，得③
g（Y）＝1/Y＋1/[ Y＋1/ g(Y)] ③ 因为原函数f(1)＝Y，所以g（Y）＝1代入③中，得
1＝1/Y＋1/（ Y＋1）整理，得
Y2－Y－1＝0 求的Y1＝（1＋√5）/2，Y2＝（1－√5）/2。
所以f(1) ＝1＋√5）/2或（1－√5）/2。

Answer 2

因为是单调函数，故可令y=f(x) 其反函数为g(y)=x
则原式可化为 y*f[y+1/g(y)]=1 f[y+1/g(y)]=1/y
再利用反函数 得到 y+1/g(y)=g(1/y) （看到这个形式是不是觉得挺熟悉的了）
另y=1/y 则原式可化为 g(y)=1/y+1/g(1/y) 而g(1/y)=y+1/g(y)
代入可得 g(y)=1/y+1/[y+1/g(y)] 因为要求f(1)
所以令g(y)=1 求出的y即为所求。
这时有 1=1/y+1/(y+1) 解得 y=(1+根号5）/2 或 (1-根号5)/2
所以f(1)为1+根号5）/2 或 (1-根号5)/2

看不懂可以问我 应该是这样做的吧^ ^

Answer 3

f（1） （ f（1） +1 ）=1

即 f（1）平方 + 1=1

即f（1）=0

Answer 4

f(1)=1