Question

在半径为9，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一动点P，作PH⊥OA，垂足为H，设G为△OPH的重心，当△PHG为等

如图所示，在半径为9，圆心角为90的扇形OAB的弧AB上有一动点P,PH垂直OA,垂足为H,设G为三角形OPH的重心，当 △PHG为等腰三角形时，PH的长为

Answer 1

解：以O点作为直角坐标系中的原点，以OA所在直线为X轴，建立直角坐标系；
那么圆弧AB的方程为x^2+y^2=81(x≥0,y≥0)
设P点坐标为（x,y）(0≤x≤9),(0≤y≤9) 那么O点坐标为（0,0），
那么O点坐标（x,0），那么G点坐标为（2/3x,1/3y）(重心性质）.
假设线段PG=GH 那么做GE垂直于PH交PH于点E，则E点平分PH,且GE平行X
轴。
由E点平分PH有E点相对于P点坐标（x，1/2y),由GE平行X轴有E点相对于
G点坐标（x,1/3y），由上得1/2y=1/3y,显然不成立，即PG≠GH；
假设线段PH=PG那么有
(x-2/3x)^2+(y-1/3y)^2=(x-x)^2+(y-0)^2
整理得 x=y√5
代入圆弧AB的方程得y=3/2√6≤9 ，x=3/2√30≤9 符合要求
即：假设成立，PH长度为3/2√6≤9；
假设线段HP=HG那么有
(x-2/3x)^2+(1/3y)^2=(x-x)^2+(y-0)^2
整理得 9=y^2 y=3
代入圆弧AB的方程得x=6√2≤9 符合要求
即：假设成立，PH长度为3≤9；
综上所述，PH长度为3/2√6或3。

Answer 2

3/2√6或3。