Question

不定积分根号下x平方

要是根号下（1+sin2x）呢

Answer 1

(1)
∫√x²dx
=∫|x|dx

∫|x|dx=∫xdx (x≥0)
∫|x|dx=-∫xdx (x<0)

设F(x)是|x|的一个原函数
F(x)=x²/2 (x≥0)
F(x)=-x²/2+C1 (x<0)

由于|x|连续，所以在x=0处的左极限等于0，右极限等于0
所以C1等于0

F(x)=x|x|/2+C

(2)
∫√(1+sin2x)dx
=∫√(sinx+cosx)² dx
=∫|sinx+cosx|dx
=√2∫|√2sinx/2+√2cosx/2|dx
=√2∫|sin(x+π/4)|dx
设F(x)是sin(x+π/4)的一个原函数
当sin(x+π/4)≥0时 即x∈[-π/4+2kπ,3π/4+2kπ)(k为整数)时
F(x)=-√2cos(x+π/4)
当sin(x+π/4)＜0时 即x∈(3π/4+2kπ,7π/4+2kπ)(k为整数)时
F(X)=√2cos(x+π/4) +C1
由于|sin(x+π/4)|在x=kπ±π/4处连续
所以在x=kπ±π/4处的左极限等于0，右极限等于0
所以C1=0
F(x)=|√2cos(x+π/4) |+C

Answer 2

∫√X^2 dx=∫|x|dx;

当 x>0时：∫|x|dx=∫xdx=1/2*x^2+C;

当x<=0时:∫|x|dx=∫-xdx=-1/2*x^2+C.

Answer 3

当x>0时 ∫√x² =∫xdx= 1/2x² + C
当x<0时 ∫√x² =-∫xdx = -1/2x² + C
当x=0时 ∫√x² =∫0dx = C

Answer 4

答：
∫√(x^2)dx
=∫|x|dx
=x|x|/2 + C

∫√(1+sin2x)dx
=∫√(sinx+cosx)^2 dx
=∫|sinx+cosx|dx
=√2∫|sin(x+π/4)|dx
=
-√2cos(x+π/4) x∈[-π/4+2kπ,3π/4+2kπ)(k为整数)。
√2cos(x+π/4) x∈[3π/4+2kπ,7π/4+2kπ)(k为整数)。