Question

高等数学 求极限 为什么不能这样求 【只听见老师说不连续，还是不懂(ಥ_ಥ)】 题目是例二的二

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Answer 1

是这样的，你如果看了导数定义的公式，可以看到那个公式里面的分子是求△x→0时，（f（x+△x）-f（x））/△x的极限。这个公式可以看到，分子是f（x+△x）-f（x），要这个极限存在，就必须要f（x）存在，即x必须在定义域内，所以才有可导必须连续的要求。
但是图片中的求法，分子是f（a+h）-f（a-2h），完全没有f（a）的出现，所以这个式子的极限是否存在，不在乎f（a）的值是多少，也不在乎f（a）这点是否在定义域内。当然这种求导数的做法是不正确的。

追问

a+2h不能整体看成a吗

还有老师说的不连续怎么解释

追答

当然不行。f（a+2h）只能说明在a+2h这个点有定义，h趋近于0，则a+2h不断趋近于a，但是也只是趋近于，不是到达。你要知道，极限中，只是无限趋近，是到达不了的。所以a+2h有定义，不能代表a处有定义。
此外a+2h看成一个整体的话，那么这个整体和a之间，始终差了2h，而2h始终是不为0的。
不过刚才看了题目，已经说f‘（a）存在，那么f（a）处倒是必然连续。
也看明白你们老师说的意思了。
你是把极限转换为f’（a+2h）的极限，即导函数的极限，你们老师是说，这个题目没有说导函数是连续的，所以不能这样求导函数的极限。
这个题目应该这样做。
极限里面的式子={[f（a+h）-f（a）]+[f（a）-f（a-2h）]}/3h
=[f（a+h）-f（a）]/3h+[f（a）-f（a-2h）]/3h
这样就分别求两个式子的极限。
lim（h→0）[f（a+h）-f（a）]/3h=1/3*lim（h→0）[f（a+h）-f（a）]/h=f‘（a）/3
lim（h→0）[f（a）-f（a-2h）/3h，令-2h=k，则h=k/2
则lim（h→0）[f（a）-f（a-2h）]/3h=lim（k→0）[f（a）-f（a+k）]/（k*3/2）
=-2/3*lim（k→0）[f（a+k）-f（a）]/k=-2f’（a）/3
所以原极限=f‘（a）/3-2f’（a）/3=-f’（a）/3
这些的，目的就是把极限式子转换为导数定义公式和常数的乘积。

追问

谢谢你，真的很耐心！