Question

一道高中解析几何问题解释不清楚为什么。

原题：过原点的直线与圆X^2+Y^2-6X+5=0相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。
问题：偶然找到一种方法，问便了周围会数学的人都解释不了。注意：我只要知道为什么这麽做能作出来答案，不需要给我提供方法和标准答案。
方法：用求解隐函数的方法对圆的方程求导得Y'=(3-X)/Y
设直线方程为Y=KX,由K=Y',代入Y'表达式得Y=(3-X)X/Y
整理得X^2+Y^2-3X=0,即所求中点M的轨迹方程.

重申一下,我只要问上述方法的使用原理和原因.用上述方法,可求任意圆和过圆外任意一个定点交圆所得弦中点的轨迹方程.但是不知道使用原理.

Answer 1

LZ求导得到的Y'=(3-X)/Y其实是过圆上一点（X,Y）的切线的斜率，并且同心圆这样求导得到的切线斜率方程都是一样的，这一点相信LZ应该知道的。然后再来看M点，方便起见，记圆心为C，由于M是AB中点，则MC⊥AB，若以MC为半径,C为圆点作一个圆，那么很明显，AB就是过M的那条圆的切线，于是AB的斜率方程应该和LZ刚才求的那个方程是一样的，也是Y'=(3-X)/Y（这里要注意，这里的(x,y）只能是M所在圆上点，而不是AB上其他的点，具体针对直线AB，就只能代入M点，因为AB上只有M是圆上的），而AB是过原点的，所以AB的斜率K=Y’，于是代入Y=KX，就得到X^2+Y^2-3X=0

Answer 2

我们可以从几何作图角度看你这个方法：
首先在圆上任取一点，作出过这一点的切线，以这条切线为准，作出一条平行于该切线并过定点的直线，该直线交圆两点，连接切点与圆心并延长，交这条平行于切线的直线于一点，可以证明这一点正是弦中点，不断在圆上取点，并用这种方法作出另一点，那么这些作出的点用光滑曲线相连就是弦中点的轨迹了。
你试着将上述的几何作图方法翻译成解析几何语言，就是你说的方法。
另看来楼主对数学挺感兴趣的，高中就知道隐函数求导法则了，后生可畏啊。