Question

已知二次函数f（x）=ax^2+bx（a,b为常数,且a≠0）满足f（-x+5）=f（x-3）且方

已知二次函数f（x）=ax^2+bx（a,b为常数,且a≠0）满足f（-x+5）=f（x-3）且方程f（x）=x有等根
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在m,n（m＜n）,使f（x）的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]如果存在,求出m,n的值；如果不存在,说明理由

我想知道第二问中f（x）最大值是1/2，2n就要小于等于1/2，为什么2n小于等于1/2？2n大于1/2也可以啊？大于的话同样也满足题意啊，为什么？？

Answer 1

f(x)=ax²+bx
f(x)=x有等根
即ax²+(b-1)x=0等根
Δ=0→b=1
f(-5+x)=f(x-3)
令x=5
0=4a+2→a=-1/2
∴f(x)=-1/2x²+x
(2)f(x)=-1/2(x-1)²+1/2≤1/2 ，对称轴x=1，抛物线开口向下。
①[m,n]区间在对称轴x=1的左侧，f(x)单调递增

最大值=f(n)=-1/2n²+n=3n n=0,n=-4
最小值=f(m)=-1/2m²+m=3m m=0,m=-4
∴m=-4,n=0 [-4,0]在对称轴x=1的左侧，与假设一致。
②[m,n]区间在包含称轴x=1
最大值=顶点=1/2=3n→n=1/6<1,区间在对称轴左侧与假设不符
③[m,n]区间在对称轴x=1的右侧，f(x)单调递减
最大值=f(m)=-1/2m²+m=3m m=0,m=-4
最小值=f(n)=-1/2n²+n=3n n=0, n=-4
n，m均<1,区间在对称轴左侧与假设不符与假设不符。
∴综上，m=-4，n=0

追问

这是另一种分情况讨论的解法，我懂这一种。
还有一种第二问说：因为f（x）最大值是1/2，所以3n≦1/2。为什么？3n不能大于1/2吗…？谢谢！

追答

值域是[3m,3n]，意味着函数在区间内的最大值为3n，显然该区间的最大值≦整个定义域的最大值1/2（不管自变量x取任何值，y不可能〉1/2）

追问

不懂……f（x）在3m到3n间才有意义，它若取1/2，而3n比1/2小，那fx不是没意义嘛？？

追答

f(x)的定义域是[m,n]，即f(x)在m到n间才有意义，相应函数值是从3m到3n，应变量f(x)如等于1/2，可以找到相应的自变量x=1，3n≤1/2，此时等号成立。