Question

高等数学/微积分：这个不等式如何证明？见3.137

Answer 1

这忘了是叫Poincare不等式还是叫什么了。
对f使用微积分基本定理，f(c)=f(c)-f(a)=从a到c积分 (f'(x)dx)，这里c是a、b之间的任意数。
然后对上面这个式子右边的那个积分使用Caushy-Schwartz不等式（也有人叫布尼亚科夫斯基不等式，总之意思就是两个向量的内积小于它们长度的乘积），就得到
(f(c))^2 <= (c-a) 乘以从a到c积分 (f'(x))^2 dx <= (c-a) 乘以从a到b积分 (f'(x))^2 dx，
其中最后一步是因为被积函数是非负的。
再把上面这个不等式两头对c从a到b积分应该就可以了。

追问

这一步我看不懂，就是你说的那个

追答

哦，是Cauchy-Schwarz不等式是吧（之前把Schwarz误拼成Schwartz，抱歉）。

(从a到x积分 f'(t) dt) ^2

=(从a到x积分 1 f'(t) dt) ^2
<= (从a到x积分 1^2 dt) 乘以 (从a到x积分 f'(t) ^2 dt)

最后的这一步用了Cauchy-Schwarz不等式。它是Holder不等式在p=q=1/2时的特殊情形。可以查一下Cauchy-Schwarz不等式或者Holder不等式，前者还有明确的几何意义。

追问

这两不等式我都知道，可还是不知道你是怎么推的，还有赫德尔不等式好像你说错了吧